直感的な、と書いていますが、計算が間に合うことは直感に反すると思います。

問題概要

非負整数の値をとる変数 $A,B,C$ に対して、操作を $N$ 回行います。 $i$ 番目の操作は、長さ $2$ の文字列 $S_i$ によって表され、指定された $2$ 変数のうち一方を $1$ 増やし、他方を $1$ 減らすというものです。すべての操作が可能かどうか判定してください。さらに、可能なら手順をひとつ提示してください。

解答

最も直感的な解法は、操作ごとに二通りに分岐して、すべてのパターンを試すことでしょう。手順の提示を省略し、疑似コードで示します。

procedure dfs( i ) =
  if i > N then 成功
  foreach S_i の意味する操作 do
    if 操作が可能 then
      操作
      dfs( i + 1 )
      逆操作
dfs( 1 )

これでは間に合うわけがありません。 $O(2^N)$ 個もの状態を考慮することになります。

……というのは嘘で、これで十分間に合います。以下にざっくり示します。

正当性（なぜ速い？）

$A=B=C=0$ のとき、明らかに即座に終了します。 $A+B+C= 1$ のとき、dfs(i) は高々 $1$ 回しか dfs(i+1) を呼び出さないため、このDFSは時間計算量 $O(N)$ で動作します。以下、 $A+B+C\ge 2$ を仮定します。

操作ができないとき、すなわち dfs(i) が dfs( i+1 ) を呼ばないとき¹を考えます。たとえば操作 'AB' が与えられたときに、 $A=B=0$ だったとします。

ひとつ前の状態がないとき、操作は不可能です。
ひとつ前の状態があるとき、ひとつ前の操作は確実に 'AC' か 'BC' であり、確実にかを減らしています。
- ひとつ前の操作で $C$ を減らすほうを選べる場合、そちらを選べば操作 'AB' は確実に可能です。
- ひとつ前の操作で $C$ を減らすほうを選べない場合、ひとつ前の状態は $(A,B,C)=(1,0,0),(0,1,0)$ のどちらかです。 $A+B+C\ge 2$ なのでありえません。